เซต
เป็นคำที่ใช้บ่งบอกถึงกลุ่มของสิ่งต่างๆ
และเมื่อกล่าวถึงกลุ่มใดแน่นอนว่าสิ่งใดอยู่ในกลุ่ม สิ่งใดไม่อยู่ในกลุ่ม เช่น
เซตสระในภาษาอังกฤษ หมายถึง
กลุ่มของอังกฤษ a, e, i, o และ u
เซตของจำนวนนับที่น้อยกว่า 10 หมายถึง กลุ่มตัวเลข 1,2,3,4,5,6,7,8,และ9
สิ่งที่ในเชตเรียกว่า สมาชิก
( element หรือ members )
การเขียนเซต
การเขียนเซตอาจเขียนได้ 2 แบบ
1 การเขียนเซตแบบแจกแจงสมาชิก เขียนสมาชิกทุกตัวลงในเครื่องหมายวงเล็บปีกกา { } และใช้เครื่องหมายจุลภาค
( , ) คั่นระหว่างสมาชิกแต่ละตัว เช่น
เซตของจำนวนนับที่น้อยกว่า 7
เขียนแทนด้วย {1,2,3,4,5,6,}
เซตของพยัญชนะไทย 5
ตัวแรก เขียนแทนด้วย { ก,ข,ฃ,ค,ฅ }
2.เขียนแบบบอกเงื่อนไข ใช้ตัวแปรเขียนแทนสมาชิกของเซต
แล้วบรรยายสมบัติของสมาชิกที่อยู่รูปของตัวแปร เช่น
{x| x เป็นสระในภาษาอังกฤษ } อ่านว่า เซตของ x โดยที่ x เป็นสระในภาษาอังกฤษ
{x| x เป็นเดือนแรกและเดือนสุดท้ายของปี } อ่านว่า เซตของ xโดยที่ x เป็นเดือนแรกและเดือนสุดท้ายของปี
เครื่องหมาย “ | ” แทนคำว่า โดยที่
ในการเขียนเซตแบบแจกแจงสมาชิกนั้นจะใช้จุด
( ... ) เพื่อแสดงว่ามีสมาชิกอื่นๆ
ซึ่งเป็นที่เข้าใจกันทั่วไปว่ามีอะไรบ้างที่อยู่ในเซต เช่น
{ 1,2,3,...,10 } สัญลักษณ์
... แสดงว่ามี 4,5,6,7,8 และ9 เป็นสมาชิกของเซต
{ วันจันทร์, อังคาร, พุธ,..., อาทิตย์ }
สัญลักษณ์ ... แสดงว่ามีวันพฤหัสบดี วันศุกร์
และวันเสาร์ เป็นสมาชิกของเซต
สัญลักษณ์แทนเซต
ในการเขียนเซตโดยที่ทั่วไปจะแทนเซตด้วยอักษรภาษาอังกฤษตัวพิมพ์ใหญ่ เช่น A,B,C และแทนสมาชิกของเซตด้วยตัวพิมพ์เล็ก เช่น a,b,c เช่น
A = {1,4,9,16,25,36} หมายถึง A เป็นเซตของกำลังสองของจำนวนนับหกจำนวนแรก }
สมาชิกของเซต
จะใช้สัญลักษณ์“∈ ” แทนเป็นสมาชิกที่มีอยู่ในเซต เช่น
A = {1,2,3,4}
จะได้ว่า1เป็นสมาชิกของ A หรืออยู่ใน A เขียนแทนด้วย 1∈A
3เป็นสมาชิกของ A
หรืออยู่ใน A เขียนแทนด้วย 3∈A แทนเป็นสมาชิกที่มีอยู่ในเซต
คำว่า “ไม่เป็นสมาชิก” หรือ “ไม่อยู่ใน” เขียนด้วยสัญลักษณ์ “∉ ” เช่น
5 ไม่เป็นสมาชิกของ A หรือไม่อยู่ใน A เขียนแทน 5∉A
7 ไม่เป็นสมชิกชอง A หรือไม่อยู่ใน A เขียนแทนด้วย 7∉A
เซตว่าง
เซตที่ไม่มีสมาชิก
สัญลักษณ์ที่ใช้ในเซตว่าง คือ {} หรือ( อ่านว่าไฟ (phi))
เซตจำกัด
เซตซึ่งมีจำนวนสมาชิกเต็มบวกหรือศูนย์
ตัวอย่างเซตจำกัด ได้แก่
A
= {0,2,4,…,10} , n(A) =
11
B = {x|
x เป็นพยัญชนะในคำว่า “เซตว่าง” }, n( A ) = 4
C = {1,2,…,8}
เซตอนันต์
เซตที่มีจำนวนมากมาย นับไม่ถ้วน
ตัวอย่างเซตอนันต์ ได้แก่
A = {x| x เป็นจำนวนเฉพาะที่มากกว่า
5 }
B = {x| x 3,7,11,15,…}
C = {1,2,3,…}
ข้อตกลงเกี่ยวกับเซต
1. เซตว่างเป็นเซตจำกัด
2.การเขียนเซตแบบแจกแจงสมาชิกเขียนสมาชิกแต่ละตัวเพียงครั้งเดียวเท่านั้น
เช่น เซตของเลขโดดที่อยู่ในจำนวน 232
คือ {2,3}
3.เซตของจำนวนที่มักจะกล่าวถึงเสมอและใช้กันทั่วไป มีดังนี้
I เป็นเซตของจำนวนเต็ม หรือ I
= {…,-2,-1,0,1,2,...}
I เป็นเซตของจำนวนเต็มบวก
หรือ I = {1,2,3,…}
I เป็นเซตของจำนวนเต็มลบ หรือ I
= {-1,-2,-3,…}
N เป็นเซตของจำนวนนับ หรือ N
= {1, 2, 3,…}
P เป็นเชตของจำนวนเฉพาะ หรือ P
= { 2, 3 , 5 , 7,…}
เซตที่เท่ากัน
เซต A
= B หมายถึง สมาชิกทุกตัวของเซต A เป็นสมาชิก ของเซต A เป็นสมาชิกของเซต B เป็นสมาชิกของเซต A เท่ากับเซต B เขียนแทนด้วย A = B
เซตไม่เท่ากัน
เซตA ไม่เท่ากับเซต B หมายความว่า มีสมาชิกอย่างน้อยหนึ่งตัวของเซต A ที่ไม่ใช้สมาชิกของเซต B หรือมีสมาชิกอย่างน้อยของเซต B ที่ไม่ใช่สมาชิกของเซต A เขียนแทนด้วย เซต A ≠ B
ตัวอย่างที่ 1 A = {0,1,2 } และ B
= {2,0,1}
ดั้งนั้น เซต A เท่ากันกับเซต B เขียนแทนด้วย A = B
คัวอย่างที่ 2 กำหนด A=
{1,1,2,4,5,6} , B ={2,1,2,4,5,6},
จงหาว่ามีเซตใดบ้างที่เท่ากัน
วิธีทำ A
= {1,1,2,4,5,6}, B ={2,1,2,4,5,6}
จะได้ A=B เพราะมีสมาชิกเหมือนกันทุกตัว
เอกภพสัมพัทธ์
เซตที่กำหนดขอบเขตของสิ่งที่ต้องการศึกษา ซึ่งถือว่าเป็นเซตที่ใหญ่ที่สุด
โดยมีข้อตกลงว่า ต่อไปจะกล่าวถึงสมาชิกของเซตนี้เท่านั้น จะไม่มีการกล่าวถึงสิ่งใดที่นอกเหนือไปจากสมาชิกของเซตที่กำหนดขึ้นนี้ โดยทั่วไปนิยมใช้สัญลักษณ์ U แทนเอกภพสัมพัทธ์
ตัวอย่างเช่น ถ้าเราจะศึกษาเกี่ยวกับจำนวนเต็ม
U = {...,-2,-1,0,1,2,...} หรือ U = {x | x เป็นจำนวนเต็ม.}
สับเซต และเพาเวอร์เซต
สับเซต
เซต A เป็นสับเซตของเซต B ก็ต่อเมื่อ
สมาชิกทุกตัวของเซต A เป็นสมาชิกของเซต B และสามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ A ⊂B
ตัวอย่างที่ 1 A = {1, 2, 3}
B = { 1, 2, 3, 4, 5}
∴ A ⊂ B
ตัวอย่างที่ 2 C = { x |
x เป็นจำนวนเต็มบวก } = {1,2,3,...}
D = { x | x เป็นจำนวนคี่ } = {...,-3,-1,1,3,...}
∴ C D
ตัวอย่างที่
3 E = { 0,1,2 }
F = { 2,1,0 }
∴ E ⊂ F และ F ⊂ E
จากตัวอย่างที่ 3 จะเห็นว่า E ⊂ F และ F ⊂ E แล้ว E = F
สับเซตแท้
เซต A จะเป็นสับเซตแท้ของเซต B ก็ต่อเมื่อ A ⊂ B และ A ≠ B
จำนวนสับเซต
ถ้า A เป็นเซตที่มีสมาชิก n สมาชิกแล้ว
จำนวนสับเซตของเซต A จะมี 2n เซต และในจำนวนนี้เป็นสับเซตแท้ 2n - 1 เซต
เพาเวอร์เซต
เพาเวอร์เซตของเซต A คือ
เซตซึ่งประกอบด้วยสมาชิกที่เป็นสับเซตทั้งหมดของเซต A และสามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ P(A)
ตัวอย่างที่ 1 A
= Ø
สับเซตทั้งหมดของ A คือ Ø
∴ P(A)
= {Ø }
ตัวอย่างที่ 2 B
= {1}
สับเซตทั้งหมดของ B คือ Ø, {1}
∴
P(B) = {Ø, {1} }
ตัวอย่างที่ 3 C
= {1,2}
สับเซตทั้งหมดของ C คือ Ø, {1} , {2},
{1,2}
∴ P(C)
={Ø, {1} , {2}, {1,2} }
การเขียนแผนภาพแทนเซต อินเตอร์เซกชัน คอมพลีเมนต์ และผลต่าง
การเขียนแผนภาพแทนเซต
ในการเขียนแผนภาพแทนเซต เราเขียนรูปปิดสี่เหลี่ยมมุมฉากแทนเอกภพสัมพัทธ์
และรูปปิดวงกลม หรือวงรีแทนสับเซต ของเอกภพสัมพัทธ์
ดังนี้
เราเรียกแผนภาพดังกล่าวข้างต้นนี้ว่า "แผนภาพเวนน์ - ออยเลอร์"
(Venn-Euler Diagram)
ยูเนียน
(Union)
เซต A ยูเนียนกับเซต B คือเซตซึ่งประกอบด้วยสมาชิกที่เป็นสมาชิกของเซต A หรือ เซต B หรือทั้ง A และ B สามารถเขียนแทนได้ด้วย สัญลักษณ์ A ∪ B
ตัวอย่างเช่น A
={1,2,3}
B= {3,4,5}
∴ A ∪ B = {1,2,3,4,5}
อินเตอร์เซกชัน
(Intersection)
เซต A อินเตอร์เซกชันเซต B คือ เซตซึ่งประกอบด้วยสมาชิกที่เป็นสมาชิกของเซต A และเซต B สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ A
∩ B
ตัวอย่างเช่น A
={1,2,3}
B= {3,4,5}
∴ A
∩ B = {3}
คอมพลีเมนต์
(Complements)
ถ้าเซต A ใดๆ ในเอกภพสัมพัทธ์ U แล้วคอมพลีเมนต์ของเซต A คือ
เซตที่ประกอบด้วยสมาชิกที่เป็นสมาชิกของ U แต่ไม่เป็นสมาชิกของ A สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ A'
ตัวอย่างเช่น U
= {1,2,3,4,5}
A
={1,2,3}
∴ A'
= {4,5}
ผลต่าง
(Difference)
ถ้าเซต A และ B เป็นเซตใดๆในเอกภพสัมพัทธ์ u เดียวกันแล้ว ผลต่างของเซต A และ B คือ เซตซึ่งประกอบด้วยสมาชิกที่เป็นสมาชิกของเซต A แต่ไม่เป็นสมาชิกของเซต B สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ A
- B
ตัวอย่างเช่น A
={1,2,3}
B= {3,4,5}
∴ A
- B = {1,2}
จำนวนสมาชิกเซตจำกัด
ถ้า A เป็นเซตจำกัดแล้ว สามารถเขียนแทนจำนวนสมาชิกของเซต A ด้วย n(A)
ถ้า A และ B เป็นเซตจำกัดที่อยู่ในเอกภพสัมพัทธ์ U แล้ว
n(A ∪) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B)
n(A - B) = n(A) - n(A ∩ B)
n(B - A) = n(B)
- n(A ∩ B)
ถ้า A,
B และ C เป็นเซตจำกัดที่อยู่ในเอกภพสัมพัทธ์ U แล้ว
n(A ∪ B ∪ C
) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A ∩ B) - n(A ∩ C) - n(B ∩ C) + n(A ∩ B ∩C)
0 ความคิดเห็น: