จำนวนเชิงซ้อน

03:22:00 THE MATHRIC Q&A 0 Comments

จำนวนเชิงซ้อน

1.นิยามของจำนวนเชิงซ้อน

จำนวนเชิงซ้อน(Complex number) คือ จำนวนที่ประกอบด้วยจำนวนจริงกับจำนวนจินตภาพ

1.1 จำนวนจริง(Real number) อ่านว่า เรียล นำเบอร์ คือจำนวนที่เราทราบค่าได้ว่ามาหรือน้อยเพียงใด แบ่งเป็น

1.1.1จำนวนตรรกยะ(Retional number)อ่านว่า เรชั่นแนล นัมเบอร์ คือจำนวนที่เป็นตัวเลขจำนวนเต็ม เศษส่วน หรือทศนิยม

1.1.2 จำนวนอตรรกยะ(Irrational number)อ่านว่าไอเรชั่นแนล นัมเบอร์ คือ จำนวนที่ไม่สามารถหาค่าได้ถูกต้อง เช่น

=1.732….(ยังมีตัวเลขต่อไปอีก)

=2.236…..

log3=0.47712…….

เราสามารถเขียนกำหนดค่าจำนวนจริงลงบนเส้นตรงได้ เพื่อพิจารณาค่าจำนวนจริง ให้เห็น

ง่ายขึ้น ซึ่งเราเรียกเส้นนั้นว่า แนวเส้นจำนวนจริง(Real number line) ดังรูปที่ 7.1

รูปที่ 7.1 แสดงแนวเส้นจำนวนจริง(Real number line)

1.2 จำนวนจินตภาพ (Imaginary number) อ่านว่า อิมเมจิเนรี่ นัมเบอร์ คือ จำนวนตัวเลขที่ไม่ทราบค่าได้ ว่าน้อยเพียงใด เช่น รากที่ สองของจำนวนจริงที่ติดลบ เช่น , , จำนวนดังกล่าวเรียกว่า Pure Imaginary number (อ่านว่า เพียว อิมเมจิเนรี่ นัมเบอร์)

ให้

เราสามารถเขียนจำนวนจินตภาพลงในแนวเส้นตรงจินตภาพได้ ดังรูปที่ 7.2

รูปที่ 7.2 แสดงจำนวนจินตภาพบนเส้นตรงจินตภาพ (Imaginary number line)

เมื่อเรานำจำนวนจริงและจำนวนจินตภาพมาเขียน รวมกันจะได้

โดย Z คือ จำนวนจินตภาพ

X คือ จำนวนจริง

jy คือ จำนวนจินตภาพ

และเขียนความสัมพันธ์ลงบนแผนภาพ จะได้ ดังรูปที่ 7.3 โดยแทน X แทนจำนวนจริง แทน y แทนด้วยจำนวนจินตภาพ

รูปที่ 7.3

ดังนั้น ค่า Z จะประกอบด้วย 2 แกน มาประกอบกัน คือ x กับ jy ดังรูปที่ 7.4

จากรูปที่ 7.4 แสดงความสัมพันธ์ของจำนวนจริงและจำนวนจินตภาพ

จากรูปที่ 7.4

3. การเปลี่ยน Rectangular form เป็น Polar form

พิจารณาจำนวนเชิงซ้อนในรูปเร็คแทนกูล่าฟอร์มในแผนภาพ ดังรูปที่ 7.5

รูปที่ 7.5

ดังนี้

โดย r คือ ค่าที่แท้จริง(Absolute Value)ของZ

ตัวอย่างที่ 1 จงเปลี่ยน 5.57+j0.675 ให้เป็นPolar form

วิธีทำ

4.การเปลี่ยน Polar form เป็น Rectangular form

จาก Rectangular form Z = x + jy ดังนั้นต้องการหา x และ jy พิจารณารูปที่ 7.5

ตัวอย่างที่2 จงเปลี่ยน เป็น Rectangular form
วิธีทำ

5. การเปลี่ยน Polar form เป็น Rectangular form และ Rectangular form เป็น Polar form โดยใช้เครื่อง

คำนวณ

5.1 การเปลี่ยน Polar form เป็น Rectangular form โดยใช้เครื่องคำนวณ

จาก

ผู้เขียนขอยกตัวอย่าง เครื่องคำนวณยี่ห้อ Casio fx-3800 ส่วนรุ่นอื่น ๆ ที่สูงกว่านี้ก็มีใช้งานคล้ายกัน

ตัวอย่างที่ 3 จงเขียน ให้อยู่ในรูปของ Rectangular form

วิธีทำ

ตัวอย่างที่ 4 จงเปลี่ยน ให้อยู่ในรูป Rectangular form

วิธีทำ

5.2 การเปลี่ยน Rectangular form เป็น Polar form โดยใช้เครื่องคำนวณ

จาก

ดังนั้นต้องการหา r และ

*ส่วนรุ่นที่สูงกว่า CASIO fx-3800 ในการเปลี่ยนจาก Rectangular form เป็น Polar form ให้กดเหมือนการเปลี่ยน Polar form เป็น Rectangular form แต่เปลี่ยนการกดจาก REC เป็น Pol (เป็นการกดปลายทางก่อนนั่นเอง)

ตัวอย่างที่ 5 จงเปลี่ยนค่า 3 + j4 เป็น Polar form

วิธีทำ ให้กด

ตัวอย่างที่ 6 จงเปลี่ยน 5 - j3 ให้เป็น Polar form

วิธีทำ ให้กด

7.6 การบวกลบจำนวนเชิงซ้อน

การบวก ลบ จำนวนเชิงซ้อนจะทำได้ในรูปแบบของ Rectangular form เท่านั้น ถ้าอยู่ในรูปแบบอื่น

ให้เปลี่ยนมาเป็น Rectangular form โดยนำค่าจำนวนจริง รวมกับจำนวนจริง ส่วนจำนวนจินตภาพให้นำไปรวมกับจำนวนจินตภาพ

ตัวอย่างที่ 7 จงหา Z₁ + Z₂ และ Z₁ - Z₂ โดย

Z₁= 3 + j4

Z₂= -5 - j10

วิธีทำ หา Z₁ + Z₂

Z₁ + Z₂= (3 + j4) + (-5 - j10)

= 3 + j4 - 5 - j10

= (3 - 5) + j (4 - 10)

= -2 - j6

Z₁ - Z₂= (3 + j4) - (-5 - j10)

= 3 + j4 + 5 + j10

= (3 + 5) + j (4 +10)

= 8 + j14

หมายเหตุ แต่โดยทั่วไปแล้ว ในการคูณ Rectangular form เราจะเปลี่ยนให้อยู่ในรูปของ Polar form ก่อน

เพื่อง่ายต่อการคำนวณ และค่อยเปลี่ยนรูปแบบกลับคืน

สรุป ในการหารจำนวนเชิงซ้อน เรานิยมหารในรูปแบบของ Polar form ซึ่งมีการคำนวณที่ง่ายกว่า ดังนั้นในการหารที่อยู่ในรูปแบบอื่น ๆ ควรเปลี่ยนเป็น Polar form ก่อน แล้วทำการหารค่า เมื่อจะตอบคำตอบควรกลับไปรูปแบบเดิม

9. วิธียกกำลัง จำนวนเชิงซ้อน

วิธียกกำลังจำนวนเชิงซ้อนที่อยู่ในรูป Polar form และ Exponential form ให้ยกกำลังที่ r

และจำนวนกำลังที่ยก คูณกับมุม