Expo & Log
Expo&log
ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล
(Exponential
Function)
จากการศึกษาในเรื่องเลขยกกำลัง
ซึ่งท้ายที่สุดเราได้สนใจเลขยกกำลังที่มีฐานเป็นจำนวนจริงบวก และเลขชี้กำลังเป็นจำนวนจริงใด ๆ
แต่ได้มีนักคณิตศาสตร์ได้สังเกตเห็นว่า ถ้าเลขยกกำลังมีฐานเป็น 1 และเลขชี้กำลังเป็นจำนวนจริงใด ๆ ดังนี้
ถ้ากำหนดให้ a
= 1 และ x เป็นจำนวนจริงใดแล้วจะได้
ax =
1x = 1
ข้อสังเกต
1.
ไม่ว่า
x
จะเป็นจำนวนจริงใด ๆ ก็ตาม 1x ก็ยังคงเท่ากับ 1
เสมอ ดังนั้นจึงไม่น่าสนใจ เนื่องจาก
เราทราบว่ามันเป็นอะไรแน่ ๆ อยู่แล้ว
2.
เรายังไม่ทราบนะว่า เลขยกกำลังที่มีฐานเป็นจำนวนจริงบวกยกเว้น 1 และเลขชี้กำลังเป็นจำนวนจริงใด ๆ
แสดงว่าเราจะต้องสนใจศึกษาเลขยกกำลังลักษณะนี้เป็นพิเศษ ซึ่งจะกล่าวถึงใน เรื่องฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลดังนี้
ข้อกำหนด
(ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล)
ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล คือ f = { (x, y) Î R ´ R+ / y = ax , a > 0,
a ¹ 1 }
ข้อตกลง ในหนังสือคณิตศาสตร์บางเล่มให้ข้อกำหนดของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล เป็นฟังก์ชันที่อยู่ในรูป f(x) = kax เมื่อ k
เป็นค่าคงตัวที่ไม่ใช่ 0 และ a เป็นจำนวนจริงบวกที่ไม่เป็น 1
แต่ในหลักสูตรมัธยมศึกษาตอนปลายนี้
จะถือว่าฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลจะอยู่ในรูป f(x) = ax เมื่อ a
เป็น จำนวนจริงบวกที่ไม่เป็น 1 เท่านั้น
ข้อสังเกต
จากข้อกำหนดฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล
1.
f(x) = 1x
เป็นฟังก์ชันคงตัวเนื่องจาก 1x = 1 ดังนั้นในข้อกำหนดฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล จึงไม่สนใจ ฐาน (a) ที่เป็น 1
2.
f(x) = 1x ไม่เป็นฟังก์ชันเอ็กซ์โพเนนเชียล เนื่องจาก f(x) = 1x เป็นฟังก์ชันคงตัว
3.
จากเงื่อนไขที่ว่า y
= ax, a > 0, a ¹ 1 ทำให้เราทราบได้เลยว่าฐาน (a) มีอยู่ 2 ลักษณะ
คือ 0 < a < 1
กับ a > 1
1.
ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลจะมีอยู่
2 ชนิด โดยขึ้นอยู่กับลักษณะของฐาน (a) ดังนี้
ชนิดที่ 1 y = ax, 0 < a < 1
ชนิดที่ 2 y = ax, a > 1
µ ฟังก์ชันลอการิทึม
เกริ่นนำ
เนื่องจาก ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล {
(x, y) Î R x R+ / y = ax , a >
0, a ¹ 1 } เป็นฟังก์ชัน 1-1 จาก R ไปทั่วถึง R+
ทำให้เราทราบได้เลยว่า อินเวอร์สของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล จะเป็นฟังก์ชันแน่ ๆ และยังเป็นฟังก์ชัน
1-1 จาก R+ ไปทั่วถึง R
ถ้าเราเปลี่ยน x เป็น Y และเปลี่ยน
y เป็น x
ที่เงื่อนไขของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล
จะได้ฟังก์ชันอินเวอร์สจของฟังก์ชันเอกซ์โพเนเนเชียลคือ
{ (x, y) Î R+ x R / x = ay , a >
0, a ¹ 1 }
µ จุดกำเนิดของฟังก์ชันลอการิทึม
เนื่องจากนักคณิตศาสตร์ทั่วไปไม่นิยมให้เงื่อนไขของฟังก์ชันใด
ๆ อยู่ในรูป
ตัวแปรต้น
(x) = กลุ่มของตัวแปรตาม (y)
แต่นิยมให้เงื่อนไขอยู่ในรูป
ตัวแปรตาม
(y) = กลุ่มตัวแปรต้น (x)
พบว่า ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล {
(x, y) Î R x R / y = ax, a > 0, a ¹ 1} มีเงื่อนไข
ตัวแปรตาม
(y) = aตัวแปรต้น (x) ซึ่งอยู่ในรูปแบบที่นิยมอยู่แล้ว
แต่ ฟังก์ชันอินเวอร์สของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล { (x, y) Î R x R / x = ay , a > 0, a ¹ 1 } มีเงื่อนไข
ตัวแปรต้น
(x) = aตัวแปรตาม (y) เห็นไหมไม่อยู่ในรูปแบบที่นิยม
ดังนั้น นักคณิตศาสตร์จึงอยากจะเปลี่ยนเงื่อนไข
ฟังก์ชันอินเวอร์สของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล ใหม่เพื่อให้อยู่ในรูปแบบที่นิยมโดยกำหนดให้เขียน
x
= ay
ใหม่เป็น y = logax แบบดื้อ ๆ เลย
ข้อตกลง
1.
logax ถูกอ่านออกเสียงว่า “ลอการิทึมเอกซ์ฐานเอ” หรือ “ล็อกเอกซ์ฐานเอ”
2.
ฟังก์ชันอินเวอร์สของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลสามารถเขียนใหม่ได้เป็น
{ (x, y) Î R+ x R / y = logax, a
> 0, a ¹ 1 }
3.
ฟังก์ชันอินเวอร์สของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล ถูกเรียกใหม่ว่า ฟังก์ชันลอการิทึม
ข้อกำหนด
ฟังก์ชันลอการิทึม
คือ { (x, y) Î R+ x R / y = logax , a
> 0, a ¹ 1 }
เป็นอินเวอร์สของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล
{ (x, y) Î R x R+ / y = ax ,a >
0, a ¹ 1 }
µ กราฟของฟังก์ชันลอการิทึม
จากที่เราทราบอยู่แล้วว่าฟังก์ชันลอการิทึม กับ
ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลเป็นอินเวอร์สซึ่งกันและกัน แสดงว่า
กราฟของฟัง์ชันทั้งสองจะสมมาตรซึ่งกันและกัน เมื่อเทียบกับเส้นตรง y = x
0 ความคิดเห็น: